jeudi 2 avril 2009
L'enseignant et la science
jeudi 26 mars 2009
La culture scientifique: exigence de l'ère
jeudi 19 mars 2009
Des pratiques aux compétences
jeudi 12 mars 2009
Enseignement des sciences en classe: quelques questions
1) Comment la classe peut-être un milieu de débat scientifique où les élèves s'impliquent en prenant part à des échanges intellectuels stimulants?
2) Comment utiliser les représentations résistantes des élèves comme un moteur des apprentissages scientifiques?
3) Comment faire en sorte que les démarches d'observation et d'expérimentation en classe éprouvent les capacités logiques et pratiques des élèves?
4) Comment les écrits produits par les élèves peuvent-ils accompagner leur processus de recherche et d'apprentissage scientifiques?
5) Comment présenter le savoir scientifique pour qu'il soit compris comme une réponse à un problème au terme d'une investigation?
6) Comment faire de la classe un espace favorable à l'acquisition et à la construction de savoir pour transformer?
jeudi 5 mars 2009
Démarche scientifique : un exemple en mathématique
Ce théorème est une propriété de géométrie euclidienne soutenant que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
La frome la plus connue de ce théorème est: dans un triangle rectangle plan, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
La longueur renvoie au nombre réel sur lequel l'opération d'élévation au carré est parfaitement définie.
L'hypoténuse fait référence au segment de droite, objet géométrique pour lequel l'élévation au carré n'a aucun sens.
Soit le triangle ABC, rectangle en C. AB étant l'hypoténuse où AB=c, AC=b, BC=a; on aura donc: BC² + AC² = AB² ou encore a²+b²=c².
Le théorème de Pythagore permet, de fait, de calculer la longueur d'un des côtés du triangle rectangle, si l'on connait les deux autres. Ainsi:
si a=3 et b=4, la longueur c sera: a² + b² = 3² + 4² = 25; d'où c² = 25 donc, c = 5
L'ensemble des trois entiers naturels (3, 4, 5) représentant les longueurs des trois côtés d'un triangle s'appelle TRIPLET PYTHAGORICIEN.
II. Tenants et évolution du théorème de Pythagore
La propriété de Pythagore est connue bien avant la période historique de Pythagore.
La plus ancienne représentation de triplet pythoricien (triangle rectangle dont les côtés sont les entiers naturels) se trouve en Grande Bretagne sur des mégalithes (vers 2500 Av. J.C). On retrouve également la trace du triplet pythagoricien sur des tablettes babyloniennes (tablettes de Plimptom 322, vers 1800 Av. J.C); ce aui prouve que plus de mille ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplet pythagoricien.
Ce serait certainement du vivant de Pythagore que son nom serait assoccié à la propriété. La légende rapporte que Pythagore en fut si fier qu'il sacrifia aux dieux une hécatombe, c'est-à-dire cent (100) boeufs. L'école de Pythagore a été, peut être, la première à donner une preuve du théorème. Car, entre la découverte d'une propriété, sa généralisation et sa démonstration, il faut souvent attendre plusieurs siècles. Plusieurs développements ont eu lieu sur ce théorème depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours.
- La première trace écrite de la démonstration de ce théorème se trouve dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante: Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit au carré des deux autres côtés (Livre I, proposition XLVII). Avec sa réciproque: Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l'angle soutenu par ces côtés est droit (Livre I, proposition XLVIII).
- La propriété est aussi connu en Chine. On retrouve sa trace dans l'un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois: Zhoubi suajing. Cet ouvrage écrit entre 220—206 av. J.C, regroupe les techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (X° siècle av. J.C — 256av. J.C). La démontration du théorème qui porte en Chine le nom de Théorème de Gougu figure dans le Jiuzhang suanshu ( les neufs chapitres sur l'art mathématique, 100 av. J.C – 50 ap. J.C), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d'Euclide et qui montre l'originalité de la démarche chinoise.
- En Inde, vers 300 av. J.C, on trouve la trace d'une démonstration numérique de la propriété; une preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément. La démonstration de l'Inde, comme celle de Gougu, aboutit à la propriété liant le carré de l'hypothénuse au carré de la différence des côtés et l'aire du triangle initial :
c²= (a-b)² + 2ab.
D'une propriété géométrique, le théorème de Pythagore prend un développemnt arithmétique avec la recherche de tous les triplets d'entiers associés aux trois côtés d'un triangle rectangle. Cette recherche ouvrira la porte à une autre : la recherche de triplet vérifiant l'égalité an + bn = cn.
Il existe encore de nombreuses démonstrations de ce théorème:
- la démonstration ulisant les simulitudes: HB/CB = CB/AB soit HB. AB = BC²
La démonstration de Leonard de Vinci et même celle du président américain James Garfield; il y a aussi le théorème d' Al-Kashi qui donne pour un triangle quelconque une relation.
Le théorème de Pythagore a été généralisé à d'autres figures et utilisé dans plusieurs domaines. Déjà, il a été annoncé par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI): « Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l'angle droit est égal aux figures semblables et semblablements décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit». Cette propriété permet de montrer que l'aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l'angle droit.
La propriété est utilisée en coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé où elle permet d'exprimer la distance entre deux points du plan...
Aujourd'hui encore, cette propriété est utilisée dans l'écriture vectorielle, dans un espace préhilbertien et même en géométrie non-euclidienne. La théorie a donc inspiré plusieurs démontrations. Elisha Scott Leonis en a réuni 370 dans son livre The Pythagorean proposition.
Bref, le théorème de Pythagore est une preuve palpable de la démarche scientifique. Car ce qui, depuis des millénaires avant notre ère, était sous la forme d'observation et d'expérimentation s'est élaboré en théorème à partir de Pythagore ( VI° siècle Av. J.C) pour inspirer plusieurs démonstrations et découvertes jusqu'à nos jours. La voie reste encore ouverte pour exploiter cette propriété ou ce théorème dans d'autres domaines comme dans l'espace physique, dans le monde des galaxies.
Sources:
1. Euclide, Éléments, Livre I, IV° s.
2. Eliane Cousquer, Le théorème de Pythagore, DUSQ, 1931.
3. Alexandre BOGOMOLNY, Proposition de 78 démonstrations différentes, 1938.
samedi 21 février 2009
Didactique des sciences selon Astolfi
jeudi 19 février 2009
Démarche scientifique
- L'OBSERVATION : L'observation scientifique est l’action de suivre attentivement des phénomènes, sans vouloir les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Comme le souligne G. Bachelard, elle est toujours une observation polémique; elle confirme ou infirme une thèse antérieure, un schéma préalable, un plan d'observation; elle montre en démontrant; elle hiérarchise les apparences; elle transcende l'immédiat; elle reconstruit le réel après avoir reconstruit ses schémas. Mais elle ne se confond à l'expérimention.
L'action d'observer a pris des formes diverses au cours de l'histoire de la science. Dans l'Antiquité, par exemple, Aristote observait la nature à l'oeil nu pour en déduire des connaissances. Dans la modernité, surtout avec la révolution copernicienne, il y a eu l'utilisation de lunettes astronomiques. C'est justement ce que Galilée a utilisé pour vérifier et confirmer la théorie de l'héliocentrisme, déjà formulée par N. Copernic. Avec l'Époque contemporaine, on assiste à l'utilisation d'autres instruments plus perfomants pour l'observation : radiotélescopes et télescopes spaciaux.
- FORMULATION D'HYPOTHESE : L'hypothèse est une proposition ou un ensemble de propositions admises provisoirement, par anticipation sur l'expérience et sous condition de vérification par celle-ci. Elle est de l'ordre du probable, du possible. Dans le domaine des sciences, elle est une explication théorique conditionnelle et anticipée des faits qui demande toujours une vérification expérimentale. Bref, il faut parvenir à faire des propositions sur ce qu'on a fait.
- VÉRIFICATION DES RÉSULTATS
Les résultats de l'expérience concernent tout ce qu'on peut vérifier de manière mesurable d'un travail réalisé ou construit, de l'évolution de la matérialisation d'une hypothèse de départ.
- ÉLABORATION DES THÉORIES... à suivre
Une théorie est une connaissance ou une idée spéculative souvent basée sur l’observation ou l’expérience, donnant une représentation idéale, éloignée des applications. Parfois le terme théorie est employé pour désigner quelque chose de temporaire. .....