Démarche scientifique : un exemple en mathématique

L'histoire de l'humanité a connu assez de penseurs qui ont bouleversé le monde par le génie de leur travail et de leurs réflexions. Certains ont été si influents qu'ils ont vu attribuer des découvertes qui, en réalité, n'ont pas été inventées par eux. C'est le cas de Pythagore de Samos (vers 570 à 480 Av. J.C), grand penseur de l'Antiquité, à qui on attribue ce théorème dit: Théorème de Pythagore. Et comment s'ennonce ce théorème et qui en sont les tenants? Qu'en est-il de son évolution historique?

I. Énonciation du théorème

Ce théorème est une propriété de géométrie euclidienne soutenant que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La frome la plus connue de ce théorème est: dans un triangle rectangle plan, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

La longueur renvoie au nombre réel sur lequel l'opération d'élévation au carré est parfaitement définie.

L'hypoténuse fait référence au segment de droite, objet géométrique pour lequel l'élévation au carré n'a aucun sens.

Soit le triangle ABC, rectangle en C. AB étant l'hypoténuse où AB=c, AC=b, BC=a; on aura donc: BC² + AC² = AB² ou encore a²+b²=c².

Le théorème de Pythagore permet, de fait, de calculer la longueur d'un des côtés du triangle rectangle, si l'on connait les deux autres. Ainsi:

si a=3 et b=4, la longueur c sera: a² + b² = 3² + 4² = 25; d'où c² = 25 donc, c = 5

L'ensemble des trois entiers naturels (3, 4, 5) représentant les longueurs des trois côtés d'un triangle s'appelle TRIPLET PYTHAGORICIEN.

II. Tenants et évolution du théorème de Pythagore

La propriété de Pythagore est connue bien avant la période historique de Pythagore.

La plus ancienne représentation de triplet pythoricien (triangle rectangle dont les côtés sont les entiers naturels) se trouve en Grande Bretagne sur des mégalithes (vers 2500 Av. J.C). On retrouve également la trace du triplet pythagoricien sur des tablettes babyloniennes (tablettes de Plimptom 322, vers 1800 Av. J.C); ce aui prouve que plus de mille ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplet pythagoricien.

Ce serait certainement du vivant de Pythagore que son nom serait assoccié à la propriété. La légende rapporte que Pythagore en fut si fier qu'il sacrifia aux dieux une hécatombe, c'est-à-dire cent (100) boeufs. L'école de Pythagore a été, peut être, la première à donner une preuve du théorème. Car, entre la découverte d'une propriété, sa généralisation et sa démonstration, il faut souvent attendre plusieurs siècles. Plusieurs développements ont eu lieu sur ce théorème depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours.

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  La première trace écrite de la démonstration de ce théorème se trouve dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante: Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit au carré des deux autres côtés (Livre I, proposition XLVII). Avec sa réciproque: Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l'angle soutenu par ces côtés est droit (Livre I, proposition XLVIII).

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  La propriété est aussi connu en Chine. On retrouve sa trace dans l'un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois: Zhoubi suajing. Cet ouvrage écrit entre 220—206 av. J.C, regroupe les techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (X° siècle av. J.C — 256av. J.C). La démontration du théorème qui porte en Chine le nom de Théorème de Gougu figure dans le Jiuzhang suanshu ( les neufs chapitres sur l'art mathématique, 100 av. J.C – 50 ap. J.C), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d'Euclide et qui montre l'originalité de la démarche chinoise.

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  En Inde, vers 300 av. J.C, on trouve la trace d'une démonstration numérique de la propriété; une preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément. La démonstration de l'Inde, comme celle de Gougu, aboutit à la propriété liant le carré de l'hypothénuse au carré de la différence des côtés et l'aire du triangle initial :

c²= (a-b)² + 2ab.

D'une propriété géométrique, le théorème de Pythagore prend un développemnt arithmétique avec la recherche de tous les triplets d'entiers associés aux trois côtés d'un triangle rectangle. Cette recherche ouvrira la porte à une autre : la recherche de triplet vérifiant l'égalité an + bn = cn.

Il existe encore de nombreuses démonstrations de ce théorème:

• la démonstration ulisant les simulitudes: HB/CB = CB/AB soit HB. AB = BC²

La démonstration de Leonard de Vinci et même celle du président américain James Garfield; il y a aussi le théorème d' Al-Kashi qui donne pour un triangle quelconque une relation.

Le théorème de Pythagore a été généralisé à d'autres figures et utilisé dans plusieurs domaines. Déjà, il a été annoncé par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI): « Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l'angle droit est égal aux figures semblables et semblablements décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit». Cette propriété permet de montrer que l'aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l'angle droit.

La propriété est utilisée en coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé où elle permet d'exprimer la distance entre deux points du plan...

Aujourd'hui encore, cette propriété est utilisée dans l'écriture vectorielle, dans un espace préhilbertien et même en géométrie non-euclidienne. La théorie a donc inspiré plusieurs démontrations. Elisha Scott Leonis en a réuni 370 dans son livre The Pythagorean proposition.

Bref, le théorème de Pythagore est une preuve palpable de la démarche scientifique. Car ce qui, depuis des millénaires avant notre ère, était sous la forme d'observation et d'expérimentation s'est élaboré en théorème à partir de Pythagore ( VI° siècle Av. J.C) pour inspirer plusieurs démonstrations et découvertes jusqu'à nos jours. La voie reste encore ouverte pour exploiter cette propriété ou ce théorème dans d'autres domaines comme dans l'espace physique, dans le monde des galaxies.

Sources:

1. Euclide, Éléments, Livre I, IV° s.

2. Eliane Cousquer, Le théorème de Pythagore, DUSQ, 1931.

3. Alexandre BOGOMOLNY, Proposition de 78 démonstrations différentes, 1938.